Por diversos motivos, es posible que necesite definir el valor máximo o mínimo de una función cuadrática seleccionada. Puede encontrar el máximo o mínimo si su función original está escrita en forma general, F(X)=unX2+segundoX+do\ displaystyle f (x) = ax ^ 2 + bx + c, o en forma estándar, F(X)=un(X−h)2+k\ displaystyle f (x) = a (x-h) ^ 2 + k. Finalmente, también puede usar algunos cálculos básicos para definir el máximo o mínimo de cualquier función cuadrática.

Método uno de tres:
A partir de la forma general de la función

  1. 1 Configure la función en forma general. Una función cuadrática es aquella que tiene un X2\ displaystyle x ^ 2 término. Puede o no contener un X\ displaystyle x término sin un exponente No habrá exponentes más grandes que 2. La forma general es F(X)=unX2+segundoX+do\ displaystyle f (x) = ax ^ 2 + bx + c. Si es necesario, combine términos similares y reorganice para establecer la función en esta forma general.[1]
    • Por ejemplo, supongamos que comienzas con F(X)=3X+2X−X2+3X2+4\ displaystyle f (x) = 3x + 2x-x ^ 2 + 3x ^ 2 +4. Combina el X2\ displaystyle x ^ 2 términos y el X\ displaystyle x términos para obtener lo siguiente en forma general:
      • F(X)=2X2+5X+4\ displaystyle f (x) = 2x ^ 2 + 5x + 4
  2. 2 Determine la dirección del gráfico. Una función cuadrática da como resultado el gráfico de una parábola. La parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Si un\ displaystyle a, el coeficiente de X2\ displaystyle x ^ 2 término, es positivo, entonces la parábola se abre hacia arriba. Si un\ displaystyle a es negativo, entonces la parábola se abre hacia abajo. Mira los siguientes ejemplos:[2]
    • por F(X)=2X2+4X−6\ displaystyle f (x) = 2x ^ 2 + 4x-6, un=2\ displaystyle a = 2 entonces la parábola se abre hacia arriba.
    • por F(X)=−3X2+2X+8\ displaystyle f (x) = - 3x ^ 2 + 2x + 8, un=−3\ displaystyle a = -3 entonces la parábola se abre hacia abajo.
    • por F(X)=X2+6\ displaystyle f (x) = x ^ 2 +6, un=1\ displaystyle a = 1 entonces la parábola se abre hacia arriba.
    • Si la parábola se abre hacia arriba, encontrará su valor mínimo. Si la parábola se abre hacia abajo, encontrará su valor máximo.
  3. 3 Calcula -b / 2a. El valor de −segundo2un\ displaystyle - \ frac b 2a te dice el X\ displaystyle x valor del vértice de la parábola. Cuando la función cuadrática está escrita en su forma general de unX2+segundoX+do\ displaystyle ax ^ 2 + bx + c, usa los coeficientes de X\ displaystyle x y X2\ displaystyle x ^ 2 términos de la siguiente manera:
    • Para una función F(X)=X2+10X−1\ displaystyle f (x) = x ^ 2 + 10x-1, un=1\ displaystyle a = 1 y segundo=10\ displaystyle b = 10. Por lo tanto, encuentre el valor x del vértice como:
      • X=−segundo2un\ displaystyle x = - \ frac b 2a
      • X=−10(2)(1)\ displaystyle x = - \ frac 10 (2) (1)
      • X=−102\ displaystyle x = - \ frac 10 2
      • X=−5\ displaystyle x = -5
    • Como segundo ejemplo, considere la función F(X)=−3X2+6X−4\ displaystyle f (x) = - 3x ^ 2 + 6x-4. En este ejemplo, un=−3\ displaystyle a = -3 y segundo=6\ displaystyle b = 6. Por lo tanto, encuentre el valor x del vértice como:
      • X=−segundo2un\ displaystyle x = - \ frac b 2a
      • X=−6(2)(−3)\ displaystyle x = - \ frac 6 (2) (- 3)
      • X=−6−6\ displaystyle x = - \ frac 6 - 6
      • X=−(−1)\ displaystyle x = - (- 1)
      • X=1\ displaystyle x = 1
  4. 4 Encuentra el valor f (x) correspondiente. Inserte el valor de x que acaba de calcular en la función para encontrar el valor correspondiente de f (x). Este será el mínimo o el máximo de la función.
    • Para el primer ejemplo anterior, F(X)=X2+10X−1\ displaystyle f (x) = x ^ 2 + 10x-1, calculó el valor de x para que el vértice sea X=−5\ displaystyle x = -5. Entrar −5\ displaystyle -5 en lugar de X\ displaystyle x en la función para encontrar el valor máximo:
      • F(X)=X2+10X−1\ displaystyle f (x) = x ^ 2 + 10x-1
      • F(X)=(−5)2+10(−5)−1\ displaystyle f (x) = (- 5) ^ 2 +10 (-5) -1
      • F(X)=25−50−1\ displaystyle f (x) = 25-50-1
      • F(X)=−26\ displaystyle f (x) = - 26
    • Para el segundo ejemplo anterior, F(X)=−3X2+6X−4\ displaystyle f (x) = - 3x ^ 2 + 6x-4, encontraste que el vértice estaba en X=1\ displaystyle x = 1. Insertar 1\ displaystyle 1 en lugar de X\ displaystyle x en la función para encontrar el valor máximo:
      • F(X)=−3X2+6X−4\ displaystyle f (x) = - 3x ^ 2 + 6x-4
      • F(X)=−3(1)2+6(1)−4\ displaystyle f (x) = - 3 (1) ^ 2 +6 (1) -4
      • F(X)=−3+6−4\ displaystyle f (x) = - 3 + 6-4
      • F(X)=−1\ displaystyle f (x) = - 1
  5. 5 Informe sus resultados. Revisa la pregunta que te hicieron. Si se le piden las coordenadas del vértice, debe informar el X\ displaystyle x y y\ displaystyle y (o F(X)\ displaystyle f (x)) valores. Si solo se le solicita el máximo o mínimo, solo necesita informar el y\ displaystyle y (o F(X)\ displaystyle f (x)valor) Consulte de nuevo el valor de un\ displaystyle a coeficiente para asegurarse de tener un máximo o un mínimo.
    • Para el primer ejemplo, F(X)=X2+10X−1\ displaystyle f (x) = x ^ 2 + 10x-1, El valor de un\ displaystyle a es positivo, por lo que informará el valor mínimo. El vértice está en (−5,−26)\ displaystyle (-5, -26)y el valor mínimo es −26\ displaystyle -26.
    • Para el segundo ejemplo, F(X)=−3X2+6X−4\ displaystyle f (x) = - 3x ^ 2 + 6x-4, El valor de un\ displaystyle a es negativo, por lo que informará el valor máximo. El vértice está en (1,−1)\ displaystyle (1, -1)y el valor máximo es −1\ displaystyle -1.

Método dos de tres:
Usando el formulario estándar o vértice

  1. 1 Escribe tu función cuadrática en forma estándar o vértice. La forma estándar de una función cuadrática general, que también se puede llamar forma de vértice, se ve así:[3]
    • F(X)=un(X−h)2+k\ displaystyle f (x) = a (x-h) ^ 2 + k
    • Si su función ya se le ha asignado de esta forma, solo necesita reconocer las variables un\ displaystyle a, h\ displaystyle h y k\ displaystyle k. Si su función comienza en la forma general F(X)=unX2+segundoX+do\ displaystyle f (x) = ax ^ 2 + bx + c, deberás completar el cuadrado para volver a escribirlo en forma de vértice.
    • Para revisar cómo completar el cuadrado, vea Completar el cuadrado.
  2. 2 Determine la dirección del gráfico. Al igual que con una función cuadrática escrita en su forma general, puede indicar la dirección de la parábola observando el coeficiente un\ displaystyle a. Si un\ displaystyle a en esta forma estándar es positiva, entonces la parábola se abre hacia arriba. Si un\ displaystyle a es negativo, entonces la parábola se abre hacia abajo. Mira los siguientes ejemplos:[4]
    • por F(X)=2(X+1)2−4\ displaystyle f (x) = 2 (x + 1) ^ 2 -4, un=2\ displaystyle a = 2, que es positivo, entonces la parábola se abre hacia arriba.
    • por F(X)=−3(X−2)2+2\ displaystyle f (x) = - 3 (x-2) ^ 2 +2, un=−3\ displaystyle a = -3, que es negativo, entonces la parábola se abre hacia abajo.
    • Si la parábola se abre hacia arriba, encontrará su valor mínimo. Si la parábola se abre hacia abajo, encontrará su valor máximo.
  3. 3 Identifica el valor mínimo o máximo. Cuando la función se escribe en forma estándar, encontrar el valor mínimo o máximo es tan simple como establecer el valor de la variable k\ displaystyle k. Para las dos funciones de ejemplo dadas anteriormente, estos valores son:
    • por F(X)=2(X+1)2−4\ displaystyle f (x) = 2 (x + 1) ^ 2 -4, k=−4\ displaystyle k = -4. Este es el valor mínimo de la función porque esta parábola se abre hacia arriba.
    • por F(X)=−3(X−2)2+2\ displaystyle f (x) = - 3 (x-2) ^ 2 +2, k=2\ displaystyle k = 2. Este es el valor máximo de la función, porque esta parábola se abre hacia abajo.
  4. 4 Encuentra el vértice. Si se le piden las coordenadas del valor mínimo o máximo, el punto será (h,k)\ displaystyle (h, k). Tenga en cuenta, sin embargo, que en la forma estándar de la ecuación, el término entre paréntesis es (X−h)\ displaystyle (x-h), entonces necesitas el signo opuesto al número que sigue al X\ displaystyle x.
    • por F(X)=2(X+1)2−4\ displaystyle f (x) = 2 (x + 1) ^ 2 -4, el término entre paréntesis es (x + 1), que se puede reescribir como (x - (- 1)). Así, h=−1\ displaystyle h = -1. Por lo tanto, las coordenadas del vértice para esta función son (−1,−4)\ displaystyle (-1, -4).
    • por F(X)=−3(X−2)2+2\ displaystyle f (x) = - 3 (x-2) ^ 2 +2, el término dentro del paréntesis es (x-2). Por lo tanto, h=2\ displaystyle h = 2. Las coordenadas del vértice son (2, 2).

Método tres de tres:
Usar el cálculo para derivar el mínimo o el máximo

  1. 1 Comience con la forma general. Escribe tu función cuadrática en forma general, F(X)=unX2+segundoX+do\ displaystyle f (x) = ax ^ 2 + bx + c. Si es necesario, puede necesitar combinar términos similares y reorganizar para obtener la forma correcta.[5]
    • Comience con la función de muestra F(X)=2X2−4X+1\ displaystyle f (x) = 2x ^ 2 -4x + 1.
  2. 2 Usa la regla de poder para encontrar la primera derivada. Usando el cálculo básico de primer año, puede encontrar la primera derivada de la función cuadrática general que se debe F'(X)=2unX+segundo\ displaystyle f ^ \ prime (x) = 2ax + b.[6]
    • Para la función de muestra F(X)=2X2−4X+1\ displaystyle f (x) = 2x ^ 2 -4x + 1, encuentra la derivada como:
      • F'(X)=4X−4\ displaystyle f ^ \ prime (x) = 4x-4
  3. 3 Establezca la derivada igual a cero. Recuerde que la derivada de una función le dice la pendiente de la función en ese punto seleccionado. El mínimo o máximo de una función ocurre cuando la pendiente es cero. Por lo tanto, para encontrar dónde ocurre el mínimo o el máximo, establezca la derivada igual a cero. Continúe con el problema de muestra de arriba:[7]
    • F'(X)=4X−4\ displaystyle f ^ \ prime (x) = 4x-4
    • 0=4X−4\ displaystyle 0 = 4x-4
  4. 4 Solución para x. Usa las reglas básicas del álgebra para reordenar la función y resolver el valor de x, cuando la derivada es igual a cero. Esta solución le dirá la coordenada x del vértice de la función, que es donde ocurrirá el máximo o el mínimo.[8]
    • 0=4X−4\ displaystyle 0 = 4x-4
    • 4=4X\ displaystyle 4 = 4x
    • 1=X\ displaystyle 1 = x
  5. 5 Inserta el valor resuelto de x en la función original. El valor mínimo o máximo de la función será el valor de F(X)\ displaystyle f (x) en el seleccionado X\ displaystyle x posición. Inserta tu valor de X\ displaystyle x en la función original y resuelve para encontrar el mínimo o el máximo.[9]
    • Para la función F(X)=2X2−4X+1\ displaystyle f (x) = 2x ^ 2 -4x + 1 a X=1\ displaystyle x = 1,
      • F(1)=2(1)2−4(1)+1\ displaystyle f (1) = 2 (1) ^ 2 -4 (1) +1
      • F(1)=2−4+1\ displaystyle f (1) = 2-4 + 1
      • F(1)=−1\ displaystyle f (1) = - 1
  6. 6 Informe su solución. La solución te da el vértice del punto máximo o mínimo. Para esta función de muestra, F(X)=2X2−4X+1\ displaystyle f (x) = 2x ^ 2 -4x + 1, el vértice ocurre en (1,−1)\ displaystyle (1, -1). El coeficiente un\ displaystyle a es positivo, por lo que la función se abre hacia arriba. Por lo tanto, el valor mínimo de la función es la coordenada y del vértice, que es −1\ displaystyle -1.[10]